基金定投簡介
定投基金是Fixed investment fund的縮寫，英文翻譯過來就是自動投資計劃(AIP)。是指在固定時間，以固定金額投資於指定的開放式基金。當市場上漲，基金淨值上漲時，當月獲得的份額數減少；反之，當基金淨值下行時，當月獲得的份額數上行，相當於自動完成「低買高賣」，從而獲得更多收益。類似於銀行的零存整取方式。
由於定投不是一次性投入，而是每隔一段時間投入一定的資金，本文將每次定投的金額折現到初始日期，記為定投成本。期末持有的基金總淨值為終值，由終值和成本可以計算出期間收益率。
在國內市場，當市場達到頂峰時，基金的發行和規模也隨之增加。下面兩個圖是股票型基金申購贖回份額與滬深300走勢的關係。左圖可以更直觀的看到，大盤上漲時，基金的認購份額更高，基金的認購數量更大；當市場下跌時，基金的認購量較小。說明投資者有一定的「追漲殺跌」傾向，會導致投資回報不佳。如果採用分批買入的方法，將克服只在一個時間點買入賣出的缺陷，平衡成本，從而在投資中立於不敗之地，即定投法。
為什麼要做基金定投為什麼要做定投？
//一次性購買基金很難選擇合適的時機。
當市場處於震蕩階段時，買入時機對收益率的影響很大。假設投資者計劃在2015年2月左右入市，持有一只基金3年。下表是一次性投資和固定投資的收益率對比。本文從股票型基金、混合偏股型基金、指數型基金和債券型基金中隨機選取兩只基金，按照上述方法計算定投和一次性投資的收益率。
我們知道，2015年2-4月是市場極不穩定的時期，2-4月市場快速上漲。如果投資者選擇一次性投資，持有三年，那麼2月、3月、4月投資的收益率差別很大。這就是一次性投入帶來的問題。在不同的進入時間和離開時間下，回報率可能會有很大的不同。但如果選擇使用定投的方式，在不同的進場時間和離場時間下，收益率差別不大。
這種現象是因為一次性投資的收益率實際上只受買入股票時淨值和賣出股票時淨值的影響，而定投每隔一段時間就會買入一部分，相當於平滑了成本，所以收益率的波動很低。
// 與投資者現金流相匹配//匹配投資人的現金流
如前所述，大多數情況下，股市的收益率高於無風險利率，所以定投會降低投資的收益率。所以，定投並不適合所有投資者，只適合那些沒有時間理財，收益固定，缺乏投資經驗的人。對於這類有固定收入但沒時間關注資本市場的上班族來說，扣除日常開銷後，往往會有一些盈餘，但數額並不大，因為小額定投是最合適的方式，讓每一筆錢都用得更充分。
但收益不穩定的投資者最好謹慎選擇定期定額投資，因為這種方式需要每月扣款。帳戶資金餘額不足的，視為違約，甚至強制終止計劃。對於今天資金充足的投資者來說，應該首先考慮一次性投資，否則如果大量資金單獨投資，部分資金只會以較低的無風險利率增值。
如何進行定投？
至於選擇什麼類型的基金，一般認為收益穩定、波動大的基金更適合定投，比如指數基金。下面，本文分析不同收益率和波動率下，基金定投收益和一次性投資收益的比較。
本文採用蒙特卡羅模擬方法，模擬不同收益率和波動率下，固定投資和一次性投資收益率的比較。假設定投時間1年，每月定投一次，無風險利率為0，模擬10000次，基金收益率服從正態分布。年化收益率從-60%到80%，年化波動率從0到60%。表中數字為固定投資率與一次性投資率之比。從表中可以看出，隨著收益率的上升，固定投資相對於一次性投資的收益率下降。前文中提到，當基金的收益率很高，定投的收益率是基金收益率和無風險收益率的加權平均值時，定投的收益率會小於一次性投資的收益率。
隨著波動率從0到60%，定投收益率與一次性投資收益率的比值增大，說明當基金波動率較高時，定投可以獲得更多收益。當預期收益率為0，波動率大於0時，定投可以在低點多買，高點少買，可以降低平均成本。所以，即使預期收益率為0，也可以從波動中獲得較高的收益。
一般來說我們認為波動性較高的指數型基金是最適合使用定投的方法的，其他主動型的基金雖然波動性也較高，但是考慮到基金經理可能有一定選股和擇時能力，使得主動型基金的波動性相對較低，收益率相對較高，因此我們認為波動率較高的指數型基金更加適合做定投，例如跟蹤中證500的基金。總的來說，我們認為波動率高的指數基金是最適合定投的方法。雖然其他主動型基金波動性較大，但考慮到基金經理可能有一定的股票和擇時能力，主動型基金的波動性相對較低，收益率相對較高。所以我們認為波動率高的指數基金更適合定投，比如跟蹤中證500的基金。
模擬結果和實證結果一樣嗎？我們統計了2013年之前發行的所有股票型基金、偏股混合型基金和靈活配置型基金的定投收益率，共計722只基金，其中被動指數型基金189只，指數增強型基金25只，普通股票型基金20只，混合偏股型基金397只，靈活配置型基金91只。時間跨度從2013年3月到2018年2月，共五年，每月固定投入。下圖橫軸是基金收益率，縱軸是定投收益率。可以看出，基金收益率與定投收益率存在明顯的正相關關係，斜率小於1。這與我們之前的分析結果一致。當基金收益率為正時，定投收益率低於基金收益率。當基金收益率為負時，定投收益率高於基金收益率，相當於保留了一部分基金收益率，降低了波動性。
第二象限中的點表示基金收益率為負，而定投收益率為正。第二象限中共有15只基金，其中指數型基金有12只，混合型有3只。第四象限中的點表示基金收益率為正，定投收益率為負，這種情況下只有6只基金，全部是混合型基金。第二象限的點表示基金收益率為負，而定投收益率為正。第二象限有15只基金，包括12只指數基金和3只混合基金。第四象限的圓點表示基金收益率為正，定投收益率為負。這種情況下只有6只基金，都是混合型基金。
第一象限的圓點表示基金收益率為正，定投收益率也為正。總共有689只基金，這是最常見的情況。本文計算了基金的固定投資率與一次性投資率的比值，按基金類別每一類的平均值如下。比率越高，基金定投的收益率越高。更建議選擇這類基金進行定投。從下表可以看出，被動型指數基金和指數增強型基金的平均和中位定投收益率最高，說明這兩類基金更適合定投。靈活配置型基金均值最高，但中位數較低，說明可能存在一些異常值，均值不代表該類別的整體表現。綜合來看，定投時建議選擇指數基金。
// 如何選擇定投的時間與頻率//如何選擇定投的時間和頻率？
既然選基的問題解決了，那就來解決如何定投的問題吧。需要選擇基金定投的頻率和時長。蒙特卡洛模擬仍然用於分析如何選擇頻率和時間長度。
下表假設年化收益率20%，波動率20%，基金收益率服從正態分布，模擬一萬次。在不同的時間長度和定投頻率下，基金的定投費率與一次性投資費率的比值。可見，定投頻率越高，定投收益率越高。這也符合我們的直覺。投資頻率越低，越接近一次性投資。但在實際操作中，很難做到每周定投，因為有固定收益的投資者一般一個月支付一次，所以每周保持定投的時間與現金流並不一致，投資者可以根據自己的現金流進行選擇。當定投時間變長時，定投收益率的變化是無規律的，下面進一步分析。
下表假設年化期望收益率為0，頻率為每月定投，基金收益率服從正態分布，模擬10000次，在不同的時間長度和波動率下，基金的定投收益率與一次性投資收益率之比。可以看出時間越長，定投帶來的收益越被放大，定投收益率與一次性投資收益率之比越大。下表假設年化預期收益率為0，頻率為每月定投，基金收益率服從正態分布，模擬一萬次。在不同的時間長度和波動率下，基金的固定投資率與一次性投資率的比值。可見，時間越長，定投收益越大，定投收益率與一次性投資收益率之比越大。
下表假設年化波動率為0，頻率為每月定投，基金收益率服從正態分布，模擬10000次，在不同的時間長度和收益率下，基金的定投收益率與一次性投資收益率之比。可以看出時間越長，定投帶來的影響越被放大。當期望收益率小於0時，定投收益率為正，且時間越長定投收益率越大。當期望收益率大於0時，定投收益率為負，且時間越長定投收益率越小。下表假設年化波動率為0，頻率為每月定投，基金收益率服從正態分布。模擬一萬次。在不同的時間長度和收益下，基金的固定投資收益率與一次性投資收益率的比值。可見時間越長，定投的影響越大。當預期收益率小於0時，固定收益率為正，時間越長，固定收益率越大。當預期收益率大於0時，固定收益率為負，時間越長，固定收益率越小。
將以上兩種效果合併，當波動率大於0，期望收益率小於0時，定投時間越長，定投收益率相對一次性投資收益率越大。而當波動率大於0，期望收益率大於0時，時間越長，存在兩種相反的影響，因此定投收益率的變動方向不確定。綜合以上兩種效應，當波動率大於0，預期收益率小於0時，定投時間越長，定投收益率相對於一次性投資收益率越大。而當波動率大於0，預期收益率大於0時，時間越長，有兩種相反的效果，所以固定收益率的變化方向是不確定的。
下表假設年化收益率20%，定投時間一年，基金收益率服從正態分布，模擬一萬次。在不同的定投頻率和波動率下，基金的定投和一次性投資的收益率之比。當波動性較高時，定投頻率越高，漲幅越大。當面對高收益高波動的基金時，選擇較高的投資頻率可能會抵消部分基金高收益帶來的損失。
// 市場環境的影響//市場環境的影響
下表是同一只基金在不同市場環境下的定投收益率和一次性投資收益率的對比。為了方便比較，每個月定投，間隔一年。從表中可以發現，結果與上一篇文章中得到的結果相似。在牛市中，定投降低了收益率，而在熊市中，定投提高了收益率，在震蕩市中收益率變化不大。說明定投可以有效緩解市場對基金淨值波動的影響。當投資者對市場未來走勢不確定時，可以選擇基金定投的方式來降低投資風險。
智能定投
//移動平均法
移動平均法是指投資者預選一個指數作為參考指數，如上證綜指、上證180、深證成指、滬深300等。，然後設置一個基準均線，比如30天、180天、500天均線等。通過指數均線判斷市場是處於低點還是高點；如果指數收盤點低於指數移動平均線，則判斷市場處於低點；如果指數收盤點位高於指數均線，則判斷市場處於高點。
均線法如何達到「低點多拋，高點少拋」的目的？我們在定投的時候要設定一個扣款額度，也就是所謂的「基準扣款額度」。在低點會扣除基準扣除額一定比例，在高點會扣除一定比例，這是移動平均線-級差合法投票需要設置的參數。所以我們需要設置三個參數:參考指數、移動平均線、級差。將扣款前一天的指數與選擇的指數移動平均線進行比較，確定扣款區間。比如我們設置180日均線的級差是10%，那麼定投的規則就是將當前的指數點與180日均線的指數點進行比較。如果當前點位高於移動平均線5%，則減少10%的定投金額；如果當前點位高於移動平均線10%，則減少20%的定投金額，以此類推。同樣，如果當前點位比移動平均線低5%，則定投金額增加10%。定投金額在0-300%之間。
我們還是以上述2010年之前成立的跟蹤中證500的指數基金為例。我們假設每月定投一次。定投從2010年2月開始，分別持續6個月、1年、2年、3年、5年、8年，無管理費用。我們分別計算了使用30天、180天、500天均線的情況，差額為10%、30%、50%。
從下表可以看出，智能定投並沒有想像中的那麼智能。在平均法投的所有九種組合中，收益率低於普通定投。在同一個均線中，差值越大，收益率越低。在同一個差價內，均線越長，收益率越低。30日均線，差10%，是9個組合中盈利概率和年化收益率最高的一組。但還是不如普通定投表現好，不妨選擇普通定投。但智能定投的表現要優於一次性定投，所以認為普通定投風險太小的投資者可以選擇智能定投，因為智能定投的風險更高，收益率彈性更大。最終智能定投和普通定投的總投資金額相差無幾。
// 移動平均成本法//移動平均成本法
移動平均成本法是將前一日的基金淨值與購買基金的平均成本進行比較，確定投資金額。如果最新淨值小於平均單位成本，超過一定範圍，則判斷市場處於低點；如果最新淨值大於平均單位成本，超過一定範圍，則判斷市場處於高點。移動平均成本法需要門檻和微分，做到「低點多投入，高點少投入」。例如，當最新淨值低於平均單位成本5%時，扣除額增加50%；當最新淨值比平均單位成本高5%時，扣除額減少50%。
我們還是以上面文章中使用的指數基金為例，該基金成立於2010年之前，跟蹤中證500。我們假設每月定投一次。定投從2010年2月開始，分別持續6個月、1年、2年、3年、5年、8年，無管理費用。本文分別以10%、5%、0.5%的門檻和10%、30%、50%的級差計算智能定投的收益率。
從下面可以看出，移動平均成本法的收益率普遍高於普通定投。在相同的級差下，門檻越低，收益率越高；在相同的門檻下，級差越高，收益率越高。在0.5%門檻和50%級差的情況下，每筆投資的金額變化最大，更激進，收益率最高。
智能定投除了以上兩種最常見的方法，還有一些其他的方法，包括定投盈虧法、PE法和趨勢法，這些方法都大同小異，旨在做到判斷市場低位和高位，在低位多買，高位少買。這一思路能夠獲得更高的收益率的邏輯其實是相信即使指數存在一定的波動，但是長期來看一定會回歸內在價值，所以在低位多買，高位少買的策略能夠增強收益。這就決定了智能定投需要投資者需要長期持有一直基金，且這只基金不僅要有一定波動，且一定會在長期內表現穩定，符合這類條件的基金就是指數型基金。雖然主動型基金也有較高的波動率，但是沒有人能夠保證主動型基金在長期的表現如何，而指數型基金只要市場不崩潰，就能夠一直隨著經濟發展而發展。除了以上兩種最常見的方法，智能定投還有其他一些方法，包括定投盈虧法、PE法、趨勢法等。這些方法大同小異，目的都是判斷市場的高低位，低位多買，高位少買。其實這種思路能取得較高收益率的邏輯是，即使指數出現波動，長期來看也一定會回歸內在價值，所以低位多買，高位少買的策略可以提升收益。這就決定了智能定投需要投資者長期持有一只基金，而這只基金不僅要有一定的波動，還要長期穩定。符合這樣條件的基金就是指數基金。雖然主動型基金也有很高的波動性，但是誰也不能保證主動型基金的長期業績，而指數型基金只要市場不崩盤，總是可以隨著經濟的發展而發展的。
摘要
本文給出了基金定投的含義和定投參數的選擇方法。通過研究不同預期收益和波動率下的定投收益率，發現波動率越高，基金預期收益越高，定投收益越低。在實證研究中還發現，波動性高、長期穩定收益率的指數基金更適合定投。通過研究定投的不同頻率和時間長度，發現定投頻率越高，收益率越高，定投時間長度越長，定投的影響越大。所以做定投的投資者，要盡可能增加頻率，長期持有。
以中證500指數基金為例，本文發現長期定投作為後端收費更值得推薦。但在不同的市場環境下，定投會大大降低不同市場環境下收益率的波動，適用於市場環境波動下行的市場階段。最後，本文研究了智能定投中的移動平均法和移動平均成本法，發現智能定投可以在一定程度上增強定投的效果，但智能定投與普通定投的差距並不大。
本文來自量化先鋒。
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